Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlagen + Beispiele

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein mathematisches Werkzeug, mit dessen Hilfe der Zufall untersucht und Vorhersagen zur Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses getroffen werden können. Sie ist unerlässlich für ein Grundverständnis der medizinischen Statistik. Unter Beachtung einiger fundamentaler Regeln können die Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, dass mehrere Ereignisse zusammen, getrennt voneinander oder nacheinander eintreten. Dieser Artikel befasst sich mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeit. Diese sind sowohl für die Durchführung und Interpretation von Ergebnissen klinischer Studien als auch für klinische Entscheidungen zugunsten von Patienten wichtig.

Redaktionelle Verantwortung: Stanley Oiseth, Lindsay Jones, Evelin Maza

Inhalt

Wahrscheinlichkeit und Zufallsexperimente

Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Quellen

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Wahrscheinlichkeit und Zufallsexperimente

Wahrscheinlichkeit

Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsgeschehen untersucht und Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert, getroffen.

Abkürzungen:
- Die Wahrscheinlichkeit wird mit P (Ereignis) abgekürzt.
- Beispiel: P(A) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt.
Zu den Arten von Wahrscheinlichkeiten gehören:
- Theoretische Wahrscheinlichkeit: basiert auf mathematischen Modellen, jedoch nicht auf Beobachtungen
- Relative Häufigkeit: basiert auf Beobachtungen und/oder Messwerten
- Subjektive Wahrscheinlichkeit: basiert ausschließlich auf persönlicher Einschätzung

Beispiel für Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie eine ideale Münze werfen, beträgt die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass sie Kopf zeigt, 50 %.

Gesetz der großen Zahlen (GGZ)

Wenn ein Versuch immer wieder wiederholt wird, pendelt sich der Anteil der Fälle, bei dem ein bestimmtes Ergebnis eintritt, auf eine bestimmte Zahl ein.
Diese Zahl beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Bezieht sich auf eine hohe Anzahl von Versuchswiederholungen (langfristiges Ergebnis)

Beispiel für kurzfristige und langfristige Ergebnisse:

Wenn Sie eine ideale Münze werfen, besteht eine 50%ige Chance, dass Sie bei jedem beliebigen Wurf Kopf erhalten. Wenn Sie zehn Mal hintereinander Kopf werfen, erhöht dies nicht die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf Kopf zu bekommen (ein kurzfristiges Ergebnis). Das GGZ besagt, dass bei einer großen Anzahl von Würfen die Häufigkeit, Kopf zu erhalten, nahe bei 50 % liegt.

Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten

Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 0 ist, wird das Ereignis niemals eintreten.
Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1 ist, wird das Ereignis immer eintreten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, kann auf die mit ihm verbundenen möglichen Ergebnisse verteilt werden.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse beträgt 1.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis (A) eintritt, liegt zwischen 0 (absolute Gewissheit, dass es nicht eintritt) und 1 (absolute Gewissheit, dass es eintritt):

$$ 0\leq P(A)\leq 1 $$

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse in einer Ergebnismenge ergibt 1:

$$ P(S) = 1 $$

Zufallsexperimente

Zufallsexperimente sind Versuche, bei denen die möglichen Ergebnisse bekannt sind, aber dasjenige, das eintreten wird, ist unbekannt.

Ergebnismenge: die Menge aller möglichen Ergebnisse

Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Komplementäres Ereignis (Gegenereignis)

Bei manchen Ereignissen gibt es nur 2 mögliche Ergebnisse: Ereignis A tritt ein oder Ereignis A tritt nicht ein. Das Komplement von Ereignis A ist, dass das Ereignis A nicht eintritt, und wird als Ā dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ā eintritt, ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst (A).

$$ P(A^{C}) = 1 – P(A) $$

Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung der Komplement-Regel — Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung des komplementären Ereignisses:
Das gesamte Feld stellt die Ergebnismenge dar, die 1 beträgt. Das Ereignis A nimmt einen Teil des Raums (grün) ein, und sein Komplement Ā steht für den verbleibenden Teil (grau) der Ergebnismenge.
Bild von Lecturio. Lizenz: CC BY-NC-SA 4.0

Beispiel: Sie haben eine 1:4-Chance, eine Kreuz-Karte aus einem Standard-Kartenspiel zu ziehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie keine Kreuz-Karte ziehen?

Antwort: In diesem Beispiel ist das Ziehen von Kreuz das Ereignis A und das Nichtziehen von Kreuz das Ereignis Ā. Wenn die Chance, Kreuz zu ziehen, 0,25 beträgt, dann ist Ā = 1 – 0,25, also 0,75.

Disjunkte Ereignisse

Wenn zwei oder mehr Ereignisse nicht gleichzeitig auftreten können, werden sie als sich gegenseitig ausschließende, unvereinbare oder disjunkte Ereignisse bezeichnet. Es ist zwar nicht möglich, dass die beiden disjunkten Ereignisse gleichzeitig eintreten, aber es ist möglich, dass keines von ihnen eintritt.

Ein Venn-Diagramm veranschaulicht die Regel der disjunkten Ereignisse — Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung von disjunkten Ereignissen:
Die Fläche des Kästchens stellt die gesamte Ergebnismenge dar, die 1 beträgt. Kreis A steht für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, und Kreis B für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.
Die Kreise überschneiden sich nicht, was bedeutet, dass sie sich gegenseitig ausschließen und nicht gleichzeitig auftreten können. Es ist jedoch möglich, dass keines der beiden Ereignisse eintritt. Beachten Sie, dass sie sich nicht überschneiden.
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Wenn 2 Ereignisse (A und B) sich gegenseitig ausschließen bzw. disjunkt sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B eintritt, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

$$ P(A\cup B) = P(A) + P(B) $$

Diese Regel kann auf eine beliebige Anzahl von disjunkten Ereignissen angewendet werden. Um z. B. die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass entweder A, B oder C eintritt, können Sie einfach P(A) + P(B) + P(C) addieren – unter der Annahme, dass alle drei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen.

Beispiel 1:

Sie kommen an eine Ampel. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei Grün an die Ampel heranfahren, beträgt 35 %, bei Gelb 5 % und bei Rot 60 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ampel grün oder gelb ist, wenn Sie vor ihr halten? (Hinweis: Hier nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Ampel immer nur genau eine Farbe zeigt).
Antwort: Da die Ampel nur rot oder gelb oder grün sein kann, handelt es sich um disjunkte, also unvereinbare Ereignisse. P(grün) kann einfach zu P(gelb) addiert werden, was 0,35 + 0,05 = 0,4 ergibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ampel entweder grün oder gelb ist, beträgt also 40 %.

Beispiel 2:

Sie haben ein Standard-Kartenspiel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, entweder Kreuz, Pik oder Herz zu ziehen?
Antwort: Die Karte, die Sie ziehen, kann immer nur eine der vier Farben haben; es handelt sich also um sich gegenseitig ausschließende, disjunkte Ereignisse. Daher gilt: P(Kreuz) + P(Pik) + P(Herz) = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75. Es besteht eine 75%ige Chance, dass Sie Kreuz, Pik oder Herz ziehen.

Multiplikationssatz: Zwei (unabhängige) Ereignisse treten gemeinsam ein

Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses hat (Anmerkung: Disjunkte Ereignisse können keine unabhängigen Ereignisse sein (Beispiel 2, s. u.)). Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ereignisse beide eintreten (A und B), ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B:

$$ P(A\cap B) = P(A)P(B) $$

Beispiel 1:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Kreuz von einem Kartenstapel gezogen wird (Ereignis A), beträgt 13/52, also 0,25. Die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte zu ziehen (Ereignis B) beträgt 12/52 bzw. 0,23. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte der Farbe Kreuz zu ziehen?
Antwort: Diese zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander: Die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuzkarte zu ziehen, hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte zu ziehen. Daher können die Wahrscheinlichkeiten einfach miteinander multipliziert werden: 0,25 x 0,23 = 0,057 oder 5,7 % (dies entspricht 3/52: Kreuz-König, Kreuz-Dame und Kreuz-Bube).

Beispiel 2: Disjunkte Ereignisse können nicht unabhängig voneinander sein

Disjunkte Ereignisse sind Ereignisse, die nicht gleichzeitig auftreten können: Z. B. kann eine Ampel nicht gleichzeitig rot und grün sein. Wenn das Licht grün ist, kann es nicht auch rot sein.
Unabhängige Ereignisse können gleichzeitig eintreten: Z. B. kann eine Karte sowohl eine Kreuz- als auch eine Bildkarte sein.

Additionssatz: Mindestens eines von zwei Ereignissen tritt ein

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, Ereignis B oder beiden Ereignissen gemeinsam– kurz: P(A oder B) – wird folgendermaßen ermittelt:

$$ P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) $$

Hinweis: Bei disjunkten Ereignissen – also jenen, die sich gegenseitig ausschließen – gibt es definitionsgemäß keine Schnittmenge zwischen A und B; P(A und B) = 0. Also gilt hier: P(A oder B) = P(A) + P(B).

Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung der allgemeinen Additionsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung — Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung des Additionssatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Die Fläche des gesamten Feldes stellt die Ergebnismenge dar, die 1 beträgt. Der grüne Kreis repräsentiert die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, der rote Kreis die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B. Da es sich nicht um disjunkte Ereignisse handelt, gibt es einen Überschneidungsbereich. Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.
Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A oder B (oder beiden) und würde dafür einfach die Fläche des grünen Kreises zu der des roten Kreises addieren, so würde die überlappende Fläche doppelt gezählt werden. Diese muss also subtrahiert werden: P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B).
Bild von Lecturio. Lizenz: CC BY-NC-SA 4.0

Beispiel: Sie haben einen Stapel Geldscheine mit einer identischen Anzahl vier unterschiedlicher Werte: 5 €, 10 €, 20 € und 50 €. Ereignis A steht für das Ziehen eines Geldscheins, auf dem eine 5 gedruckt ist; Ereignis B steht für das Ziehen eines Geldscheins mit einem Wert zwischen 3 € und 12 €. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B eintritt?

Antwort: Beachten Sie, dass das Ergebnis 5 € in beiden Ereignissen vorkommt; A und B sind also nicht disjunkt, sie schließen sich nicht gegenseitig aus. Wir können also nicht einfach P(A) + P(B) addieren, weil wir dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein 5-€-Schein gezogen wird (P(5 €)), zweimal gezählt hätten. Wir müssen also P(5 €) subtrahieren, damit er am Ende nur einmal gezählt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Schein gezogen wird, beträgt hier 1/4, also 25 % (denn es gibt vier unterschiedliche Scheine, und alle Scheine kommen gleich oft im Stapel vor).

Um unsere Frage zu beantworten, können wir zunächst P(A) berechnen, das gleich P(5 €) + P(50 €) = 0,25 + 0,25 = 0,5 ist. Analog dazu ist P(B) = P(5 €) + P(10 €) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Wir wissen, dass P(5 €) an sich 0,25 beträgt. Insgesamt ergibt sich also 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75, was wiederum drei der vier Scheinen entspricht (den 5-, 10- und 50-Euro-Scheinen, die alle entweder in Ereignis A oder B enthalten sind).

Fallstricke

Hüten Sie sich vor Wahrscheinlichkeiten, die nicht die Summe 1 ergeben.
Addieren Sie keine Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, wenn diese nicht disjunkt sind.
Multiplizieren Sie keine Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die voneinander abhängig sind.
Disjunkte Ereignisse können nicht unabhängig sein.
Wenden Sie das Gesetz großer Zahlen nicht auf die Beschreibung kurzfristiger Ereignisse an.
Trifft Ihre Annahme, dass die Ereignisse voneinander unabhängig sind, zu?

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn das Ereignis A bereits eingetreten ist.
Abgekürzt durch P(B|A)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse ist einfach gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, also P(B|A) = P(B).
- Beispiel: Eine Person möchte zwei Kreuzkarten hintereinander von einem Standard-Kartenspiel ziehen. Angenommen, die erste Karte ist Kreuz; wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ebenfalls Kreuz ist?
- Antwort: Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann in diesem Fall wie folgt abgekürzt werden: P(Ziehen eines 2. Kreuzes | 1. Karte ist Kreuz). Jedes Ziehen ist unabhängig vom letzten Ziehen, daher handelt es sich hier um unabhängige Ereignisse. Da es von jeder Farbe 13 Karten gibt und eine bereits gezogen wurde (“Ereignis A“), bleiben von den insgesamt 51 Karten zwölf Kreuzkarten übrig. Die Antwort lautet also 12 / 51 bzw. 23,5 %.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die voneinander abhängig sind, ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens beider Ereignisse, d. h. P(B|A) = P(A) x P(B).
- Beispiel: Ein Schüler, der sich an einer Hochschule bewirbt, hat eine 80%ige Chance, angenommen zu werden. Für 60 % der angenommenen Bewerber steht eine Unterkunft auf dem Campus zur Verfügung. Wie hoch sind die Chancen, angenommen zu werden und auf dem Campus zu wohnen?
- Antwort: 0,8 x 0,6 = 0,48 oder 48 %
Die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von mehr als zwei Ereignissen erfordert die Berücksichtigung aller vorangegangenen Ereignisse.
- Beispiel: Der oben genannte Schüler weiß, dass von den Studenten, die auf dem Campus wohnen, 90 % mindestens einen Mitbewohner haben. Wie groß ist die Chance, dass dieser Student angenommen wird, eine Unterkunft auf dem Campus erhält und mindestens einen Mitbewohner hat?
- Antwort: 0,8 x 0,6 x 0,9 = 0,432 bzw. 43,2 %

Quellen

Haidich, A.B. (2010). Meta-analysis in medical research. Hippokratia, 14 (Suppl 1): pp. 29–37.
Smith, V., Devane, D., Begley, C.M., Clarke, M. (2011). Methodology in conducting a systematic review of systematic reviews of healthcare interventions. BMC Medical Research Methodology, 11 (1).
Rind, D. (2019). Proof, p-values, and hypothesis testing. UpToDate. Zugriff am 25. Mai 2021, from https://www.uptodate.com/contents/proof-p-values-and-hypothesis-testing
Mahutte, N., Duleba, A. (2021). Evaluating diagnostic tests. UpToDate. Zugriff am 25. Mai 2021, from https://www.uptodate.com/contents/evaluating-diagnostic-tests